Persamaan Kuadrat, Soal Dan Pembahasan
Materi ini adalah materi yang wajib kita kuasai, karena materi ini selalu keluar dalam ujian nasional. Dan juga materi ini banyak bersangkutan dengan materi lain.
Baiklah, berikut adalah penjelasannya. Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial yang berorde 2. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah:
$ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq0$
a adalah koofisien dari $x^2$
b adalah koofisien dari x
c adalah konstanta.
Contoh persamaan kuadrat:
$x^2+5x+6=0$
Dari persamaan kuadrat ini kita peroleh:
a = 1 [untuk bilangan 1 tidak dituliskan di depan $x^2$ atau $x$]
b = 5, dan
c = 6.
Apa menariknya persamaan kuadrat di atas. Jangan anggap sepele dulu, dengan satu persamaan kuadrat saja, banyak pertanyaan yang bisa muncul misalnya akar-akarnya adalah? Determinannya adalah? Jumlah akar-akarnya adalah? Dan lain-lain.
Sebelum pertanyaan itu kita jumpai, marilah kita pelajari lebih lanjut.
Akar-akar persamaan kuadrat
Apasih akar persamaan kuadrat, apa sama dengan akar pohon? :). Mungkin lebih kurang sama, jika kita membandingkan sebuah pohon dengan grafik persamaan kuadrat. Oke, kita singkirkan dulu kata pohon supaya lebih fokus.
Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Artinya jika kita ganti x dengan suatu bilangan hasil persamaannya adalah 0. Kita lihat contoh berikut agar lebih paham.
Diketahui sebuah persamaan:
$x^2+3x-10=0$
x = 1, maka $1^2+3.1-10=1+3-10=-6$
Tidak sama dengan 0 maka 1 bukan akar persamaan.
x = 2, maka $2^2+3.2-10=4+6-10=0$
Jadi, 2 adalah akar persamaan.
Namun tidak mungkin kita coba satu persatu nilai x untuk mencari akarnya. Ada 3 cara untuk mendapatkan akar yaitu dengan:
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna, dan
3. Menggunakan rumus abc
1. Memfaktorkan
Cara ini adalah cara yang paling sering di gunakan. Misalnya kita ingin mencari akar-akar dari persamaan kuadrat yang tadi. Caranya sebagai berikut:
- Kalikan a [koofisien $x^2$] dengan c.
- Dari hasil perkalian tersebut cari faktornya yang jika di jumlahkan sama dengan b [koofisien x]
- Sederhanakan
Langsung saja kita sanksi:
Dari persamaan $x^2+3x-10=0$, kita peroleh nilai:
a = 1
b = 3, dan
c = -10
a.c = 1.-10 = -10
Faktor dari -10 adalah [1, -10], [-1, 10], [-2, 5] dan [2, -5]. Karna b = 3 maka kita gunakan -2 dan 5 karna jikalau di jumlahkan jadinya sama dengan 3. Berikut penjabarannya:
$x^2+3x-10=0$
jabarkan 3x menjadi -2x + 5x
$x^2-2x+5x-10=0$
$x(x-2)+5(x-2)=0$
$(x+5)(x-2)=0$
x + 5 = 0, maka x = -5
x - 2 = 0, maka x = 2
Kaprikornus akar-akar persamaannya yakni -5 dan 2.
Tabel penyelesaian akar-akar persamaan kuadrat:
Contoh lain: Tentukan akar dari persamaan kuadrat $2x^2+x-6=0$?
Pembahasan:
$=2x^2+x-6$
$=2x^2+4x-3x-6$
$=2x(x+2)-3(x+2)$
$=(2x-3)(x+2)$
2x - 3 = 0
2x = 3
x = $\frac32$
x + 2 = 0
x = -2
Jadi akar-akarnya adalah $\frac32$ dan -2.
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
Untuk lebih memahami cara ini nantinya maka lihat persamaan berikut ini:
$(x+3)^2=x^2+6x+9$
$(x-4)^2=x^2-8x+16$
$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
Melihat persamaan di atas maka yang kita sisipkan nantinya adalah:
Jika a = 1, maka angka yang kita sisipkan adalah $(\fracb2)^2$
Jika a $\neq$ 1, maka angka yang kita sisipkan adalah $\fracb^24a$
Contoh soal: Tentukan akar dari persamaan $x^2-6x-8=0$!
Pembahasan:
b = -6
Angka yang kita sisipkan kedalam persamaan adalah $(\frac-62)^2=9$
$x^2-6x+8=0$
$x^2-6x=-8$, sisip 9 di kedua ruas
$x^2-6x+9=-8+9$
$(x-3)^2=1$
$x-3=\pm\sqrt1$
$x-3=\pm1$
x - 3 = 1, maka x = 4
x - 3 = -1, maka x = 2
Jadi akar-akarnya adalah 2 dan 4.
Contoh lagi: akar dari persamaan $2x^2+4x-6=0$ adalah ...
Pembahasan:
a = 2, b = 4
Angka yang kita sisip adalah $\frac4^24.2=\frac168=2$
$2x^2+4x-6=0$
$2x^2+4x=6$, sisip 2
$2x^2+4x+2=6+2$
$(x\sqrt2+\sqrt2)^2=8$
$x\sqrt2+\sqrt2=\pm\sqrt8$
$x\sqrt2+\sqrt2=\pm2\sqrt2$
$x=\frac\pm2\sqrt2-\sqrt2\sqrt2$
$x=\pm2-1$
$x_1=2-1=1$
$x_2=-2-1=-3$
Jadi akarnya adalah 1 dan -3.
3. Menggunakan rumus abc
Cara ini juga sering dipakai, dan rumusnya adalah:
$x_1,2=\frac-b\pm\sqrtb^2-4ac2a$
Contoh: $2x^2+x-6=0$
a = 2
b = 1
c = -6
$x_1,2=\frac-1\pm\sqrt1^2-4.2(-6)2.2$
$x_1,2=\frac-1\pm\sqrt1+484$
$x_1,2=\frac-1\pm\sqrt494$
$x_1,2=\frac-1\pm74$
$x_1=\frac-1+74=\frac64=\frac32$
$x_2=\frac-1-74=\frac-84=-2$
Jadi akarnya $\frac32$ dan -2.
Jenis akar-akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ ditentukan oleh nilai Diskriminannya $D=b^2-4ac$
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
Untuk lebih memahami cara ini nantinya maka lihat persamaan berikut ini:
$(x+3)^2=x^2+6x+9$
$(x-4)^2=x^2-8x+16$
$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
Melihat persamaan di atas maka yang kita sisipkan nantinya adalah:
Jika a = 1, maka angka yang kita sisipkan adalah $(\fracb2)^2$
Jika a $\neq$ 1, maka angka yang kita sisipkan adalah $\fracb^24a$
Contoh soal: Tentukan akar dari persamaan $x^2-6x-8=0$!
Pembahasan:
b = -6
Angka yang kita sisipkan kedalam persamaan adalah $(\frac-62)^2=9$
$x^2-6x+8=0$
$x^2-6x=-8$, sisip 9 di kedua ruas
$x^2-6x+9=-8+9$
$(x-3)^2=1$
$x-3=\pm\sqrt1$
$x-3=\pm1$
x - 3 = 1, maka x = 4
x - 3 = -1, maka x = 2
Jadi akar-akarnya adalah 2 dan 4.
Contoh lagi: akar dari persamaan $2x^2+4x-6=0$ adalah ...
Pembahasan:
a = 2, b = 4
Angka yang kita sisip adalah $\frac4^24.2=\frac168=2$
$2x^2+4x-6=0$
$2x^2+4x=6$, sisip 2
$2x^2+4x+2=6+2$
$(x\sqrt2+\sqrt2)^2=8$
$x\sqrt2+\sqrt2=\pm\sqrt8$
$x\sqrt2+\sqrt2=\pm2\sqrt2$
$x=\frac\pm2\sqrt2-\sqrt2\sqrt2$
$x=\pm2-1$
$x_1=2-1=1$
$x_2=-2-1=-3$
Jadi akarnya adalah 1 dan -3.
3. Menggunakan rumus abc
Cara ini juga sering dipakai, dan rumusnya adalah:
$x_1,2=\frac-b\pm\sqrtb^2-4ac2a$
Contoh: $2x^2+x-6=0$
a = 2
b = 1
c = -6
$x_1,2=\frac-1\pm\sqrt1^2-4.2(-6)2.2$
$x_1,2=\frac-1\pm\sqrt1+484$
$x_1,2=\frac-1\pm\sqrt494$
$x_1,2=\frac-1\pm74$
$x_1=\frac-1+74=\frac64=\frac32$
$x_2=\frac-1-74=\frac-84=-2$
Jadi akarnya $\frac32$ dan -2.
Jenis akar-akar Persamaan Kuadrat
Jenis akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ ditentukan oleh nilai Diskriminannya $D=b^2-4ac$
- $D=0$, maka akar-akarnya positif [Real] dan sama yaitu $x_1=x_2$
- $D>0$, maka akar-akarnya Real dan berbeda.
- $D<0$, maka akar-akarnya tidak positif [imajiner].
Contoh Soal:
Dari persamaan kuadrat berikut ini:
[1] $4x^2-13x+3=0$
[2] $9x^2+6x+2=0$
[3] $3x^2-4x+1=0$
[4] $5x^2+12x+7=0$
yang mempunyai akar real dan berbeda adalah...
A. 1, 2 dan 3
B. 1, 3 dan 4
C. 2, 3 dan 4
D. Hanya 1 dan 2
E. Hanya 3 dan 4
Pembahasan:
[1] a = 4, b = -13 dan c = 3, maka
$D=b^2-4ac=(-13)^2-4.4.3$=169-48=121
$D>0$ maka akarnya Real dan berbeda.
[2] a = 9, b = 6 dan c = 2, maka
$D=b^2-4ac=6^2-4.9.2$=36-72=-36
$D<0$ maka akarnya imajiner.
[3] a = 3, b = -4 dan c = 1, maka
$D=b^2-4ac=(-4)^2-4.3.1$=16-12=4
$D>0$ maka akarnya Real dan berbeda.
[4] a = 5, b = 12 dan c = 7, maka
$D=b^2-4ac=(12)^2-4.5.7$=144-140=4
$D>0$ maka akarnya Real dan berbeda.
Jadi jawabannya adalah B. 1, 3 dan 4.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Untuk menghitung jumlah dan hasil kali dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ tidak perlu mencari nilai dari akar-akarnya tapi cukup menggunakan rumus berikut:
$x_1+x_2=-\fracba$
$x_1.x_2=\fracca$
$x_1-x_2=\frac\sqrtDa$
Rumus berikut juga sering digunakan:
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
Contoh soal:
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2-7x+6=0$. Tentukan nilai dari:
A. $x_1+x_2$
B. $x_1.x_2$
C. $x_1^2+x_2^2$
D. $\frac1x_1+\frac1x_2$
Pembahasan:
Dari $2x^2-5x+6=0$, maka:
a = 2, b = -7, dan c = 6.
A. $x_1+x_2=-\fracba=-\frac-72=\frac72$
B. $x_1.x_2=\fracca=\frac62=3$
C. $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$=(\frac72)^2-2.3=\frac494-6=\frac254$
D. $=\frac1x_1+\frac1x_2$
$=\fracx_2+x_1x_1x_2$
$=\frac\frac723$
$=\frac76$
Menentukan persamaan kuadrat gres
Untuk mencari persamaan kuadrat baru rumus yang perlu kita ingat adalah:
$x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$
atau biar lebih mudah untuk diingat:
$x^2-(hasil jumlah)x+(hasil kali)=0$
Contoh soal:
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2+4x-1=0$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(x_1-2)$ dan $(x_2-2)$ adalah...
A. $2x^2-12x-17=0$
B. $2x^2-12x+17=0$
C. $2x^2+12x-17=0$
D. $2x^2-12x-15=0$
E. $2x^2+12x+15=0$
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $2x^2+4x-1=0$ maka:
a = 2, b = 4, dan c = -1
$x_1+x_2=-\frac42=-2$
$x_1.x_2=-\frac12$
Selanjutnya kita cari hasil jumlah dan hasil kali persamaan baru yang akar-akarnya adalah $(x_1-2)$ dan $(x_2-2)$.
Koofisien x [hasil jumlah]
$=(x_1-2)+(x_2-2)$
$=x_1+x_2-4$
$=-2-4$
$=-6$
Konstanta [hasil kali]
$=(x_1-2).(x_2-2)$
$=x_1.x_2-2(x_1+x_2)+4$
$=-\frac12-2.(-2)+4$
$=-\frac12+4+4$
$=\frac152$
Jadi persamaan barunya adalah:
$x^2-(hasil jumlah)x+(hasil kali)=0$
$x^2-(-6)x+\frac152=0$, dikali 2
$2x^2+12x+15=0$
Makara jawabannya yaitu D.
Dari persamaan kuadrat berikut ini:
[1] $4x^2-13x+3=0$
[2] $9x^2+6x+2=0$
[3] $3x^2-4x+1=0$
[4] $5x^2+12x+7=0$
yang mempunyai akar real dan berbeda adalah...
A. 1, 2 dan 3
B. 1, 3 dan 4
C. 2, 3 dan 4
D. Hanya 1 dan 2
E. Hanya 3 dan 4
Pembahasan:
[1] a = 4, b = -13 dan c = 3, maka
$D=b^2-4ac=(-13)^2-4.4.3$=169-48=121
$D>0$ maka akarnya Real dan berbeda.
[2] a = 9, b = 6 dan c = 2, maka
$D=b^2-4ac=6^2-4.9.2$=36-72=-36
$D<0$ maka akarnya imajiner.
[3] a = 3, b = -4 dan c = 1, maka
$D=b^2-4ac=(-4)^2-4.3.1$=16-12=4
$D>0$ maka akarnya Real dan berbeda.
[4] a = 5, b = 12 dan c = 7, maka
$D=b^2-4ac=(12)^2-4.5.7$=144-140=4
$D>0$ maka akarnya Real dan berbeda.
Jadi jawabannya adalah B. 1, 3 dan 4.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Untuk menghitung jumlah dan hasil kali dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ tidak perlu mencari nilai dari akar-akarnya tapi cukup menggunakan rumus berikut:
$x_1+x_2=-\fracba$
$x_1.x_2=\fracca$
$x_1-x_2=\frac\sqrtDa$
Rumus berikut juga sering digunakan:
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$
Contoh soal:
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2-7x+6=0$. Tentukan nilai dari:
A. $x_1+x_2$
B. $x_1.x_2$
C. $x_1^2+x_2^2$
D. $\frac1x_1+\frac1x_2$
Pembahasan:
Dari $2x^2-5x+6=0$, maka:
a = 2, b = -7, dan c = 6.
A. $x_1+x_2=-\fracba=-\frac-72=\frac72$
B. $x_1.x_2=\fracca=\frac62=3$
C. $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$=(\frac72)^2-2.3=\frac494-6=\frac254$
D. $=\frac1x_1+\frac1x_2$
$=\fracx_2+x_1x_1x_2$
$=\frac\frac723$
$=\frac76$
Menentukan persamaan kuadrat gres
Untuk mencari persamaan kuadrat baru rumus yang perlu kita ingat adalah:
$x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$
atau biar lebih mudah untuk diingat:
$x^2-(hasil jumlah)x+(hasil kali)=0$
Contoh soal:
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2+4x-1=0$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(x_1-2)$ dan $(x_2-2)$ adalah...
A. $2x^2-12x-17=0$
B. $2x^2-12x+17=0$
C. $2x^2+12x-17=0$
D. $2x^2-12x-15=0$
E. $2x^2+12x+15=0$
Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat $2x^2+4x-1=0$ maka:
a = 2, b = 4, dan c = -1
$x_1+x_2=-\frac42=-2$
$x_1.x_2=-\frac12$
Selanjutnya kita cari hasil jumlah dan hasil kali persamaan baru yang akar-akarnya adalah $(x_1-2)$ dan $(x_2-2)$.
Koofisien x [hasil jumlah]
$=(x_1-2)+(x_2-2)$
$=x_1+x_2-4$
$=-2-4$
$=-6$
Konstanta [hasil kali]
$=(x_1-2).(x_2-2)$
$=x_1.x_2-2(x_1+x_2)+4$
$=-\frac12-2.(-2)+4$
$=-\frac12+4+4$
$=\frac152$
Jadi persamaan barunya adalah:
$x^2-(hasil jumlah)x+(hasil kali)=0$
$x^2-(-6)x+\frac152=0$, dikali 2
$2x^2+12x+15=0$
Makara jawabannya yaitu D.
JIKA ADA SOAL PR/TUGAS ATAU SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN PERSAMAAN KUADRAT YANG TIDAK BISA KAMU SELESAIKAN, SILAHKAN TULIS DIKOMENTAR. 20 KOMENTAR PERTAMA AKAN DI JAWAB OLEH ADMIN MTKA.XYZ
