Induksi Matematika

Jika kita sudah mempelajari barisan dan deret aritmatika atau geometri, pasti kita sudah mempelajari tentang rumus suku ke-n. Sebagai contoh rumus suku ke-n bilangan ganjil adalah:

$U_n=2n-1$

Apakah rumus itu benar? Maka salah satu cara untuk pembuktiannya adalah dengan induksi matematika.

Induksi matematika ialah metode pembuktian yang sering dipakai untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.

Disini saya tidak akan panjang lebar, saya akan langsung pada cara membuktikan suatu rumus [Suatu Pernyataan bilangan asli] dengan induksi matematika.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan $P(n)$ merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan $P(n)$ benar jika memenuhi langkah berikut ini:

1. Langkah Awal: $P(1)$ benar.
2. Langkah Induksi: jika $P(k)$ benar, maka $P(k+1)$ benar, untuk setiap $k$ bilangan orisinil.

Maka $P(n)$ bernilai benar untuk setiap bilangan orisinil $n$.

Jadi yang perlu kita buktikan pertama kali adalah $P(1)$, jika $P(1)$ salah maka pernyataan tersebut salah, tapi jika $P(1)$ benar maka kita lanjut pada langkah induksi. Untuk pada langkah induksi, kita anggap $P(k)$ benar, dan jika $P(k+1)$ juga benar. Maka pernyataan tersebut benar untuk semua nilai $n$ [bilangan asli].

Prinsip Induksi Matematika yang Diperluas

Misalkan $P(n)$ merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Jika $P(n)$ memenuhi dua sifat berikut:

1. $P(n)$ benar untuk $n=m$
2. Untuk setiap bilangan orisinil $k≥m$, kalau $P(k)$ bernilai benar, maka $P(k+1)$ juga bernilai benar.

Maka $P(n)$ bernilai benar untuk semua bilangan orisinil yang lebih atau sama dengan $m$.

Untuk lebih memahaminya kita lihat contoh soal berikut ini:

1. Dengan menggunakan induksi matematika, selidiki kebenaran pernyataan berikut: untuk setiap bilangan asli, $P(n)=5^n-1$ habis dibagi 4 [merupakan kelipatan 4].

Jawab:
Untuk lebih memahami makna kata dari "habis dibagi", perhatikan contoh berikut, misal kita punya angka 100 dan angka 54 yang akan kita bagi dengan 4. Perhatikan papan Tulis berikut:

Pada pembagian 100 dengan 4 maka hasilnya 25 dengan sisanya adalah 0, berarti 100 habis dibagi 4.

Namun pada pembagian 54 dengan 4, memiliki hasil 13,.. sisa 2, berarti 54 tidak habis dibagi 4.

Oke lanjut pada soal tadi, begini caranya:

a. Langkah Awal
$P(1)=5^1-1=5-1=4$

Karena 4 : 4 = 1 tidak ada sisa, berarti habis dibagi 4.

Berarti $P(1)$ benar. Kita lanjut langkah selanjutnya.

b. Langkah Induksi
Anggap untuk $n=k$ benar, maka:

$P(k)=5^k-1$ habis dibagi 4.

Untuk $n=k+1$, maka:

$P(k+1)=5^k+1-1$
SSP(k+1)$=5^k×5-1$
SSP(k+1)$=(5^k-1)×5+5-1$
SSP(k+1)$=(5^k-1)×5+4$

Kerana $(5^k-1)$ habis dibagi 4, maka $(5^k-1)×5$ juga habis dibagi 4.

4 juga habis di bagi 4.

Kesimpulan:
$P(k+1)=(5^k-1)×5+4$ habis dibagi 4.

Karena Langkah Awal benar dan Langkah induksi juga benar, maka pernyataan:

$P(n)=5^n-1$ habis dibagi 4 adalah benar.

TERBUKTI!

2. Buktikan bahwa pernyataan:
2. $2+4+6+...+2n=n(n+1)$
Bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Jawab:
a. Langkah Awal
Untuk $n=1$, maka
$2=1(1+1)$
$2=1(2)$
$2=2$ bernilai benar.

Jadi untuk $n=1$ pernyataan $2+4+6+...+2n=n(n+1)$ bernilai benar.

b. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli $n=k$, Misalkan pernyataan $2+4+6+...+2k=k(k+1)$ bernilai benar.

Akan ditunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk $n=k+1$, yaitu:

$2+4+6+...+2k+2(k+1)=(k+1)(k+1+1)$
$2+4+6+...+2k+2(k+1)=(k+1)(k+2)$
$2+4+6+...+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)$
$2+4+6+...+2k=k(k+1)$

Bernilai benar.

Maka terbukti pernyataan tersebut berlaku untuk semua bilangan asli n.


SOAL-SOAL LATIHAN

Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa pernyatan berikut bernilai benar untuk setiap bilangan asli n:

1. $1+2+4+8+...+2^n-1=2^n-1$

2. $\frac11.2+\frac12.3+...+\frac1n.(n+1)=\fracnn+1$

3. $n^3+5n$ habis di bagi 6.

JIKA ADA SOAL PR/TUGAS ATAU SOAL LAINNYA YANG BERHUBUNGAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA YANG TIDAK BISA KAMU SELESAIKAN, SILAHKAN TULIS DIKOMENTAR. 20 KOMENTAR PERTAMA AKAN DI JAWAB OLEH ADMIN MTKA.XYZ

###GOOD LUCK###

Share this post